2주차_현대암호학 기초 < 행렬 >

학습 목표

행렬의 정의를 이해한다.
행렬의 덧셈과 곱셈 연산과 그 성질을 이해한다.
역행렬의 개념과 계산방법을 이해한다.
𝑍𝑛 에서 행렬 연산을 이해한다.

목차

• 정의
• 덧셈과 스칼라곱
• 곱셈
• 역행렬
• 𝑍𝑛 에서 행렬 연산

행렬 (Matrix)

 

행렬

• 몇 개의 수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶어서 나타낸 것을 뜻한다.

행렬의 성분

• 행렬을 이루는 각각의 수나 문자

행이란?

• 행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄
• 위에서부터 차례로 (제)1행, (제)2행, …

열이란?

• 행렬에서 성분을 세로로 배열한 줄 • 왼쪽에서부터 차례로 (제)1열, (제)2열,

 

𝑚 × 𝑛 행렬

 

𝑚 개의 행과 𝑛 개의 열로 구성된 행렬이다.

 

위는 3 X 2 행렬이다.

 

행렬의 대각 성분

행번호와 열번호가 같은 성분을 말한다.

 

두 행렬 𝐴와 𝐵가 같다 

𝐴와 𝐵 모든 대응하는 성분이 같은 값인 경우를 말한다.

두 행렬이 같다.

영행렬

모든 성분이 0인 행렬을 말한다.

 

정사각 행렬

행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬

즉, 𝑛 × 𝑛 행렬

행렬의 덧셈과 스칼라곱

 

행렬의 덧셈

• 두 행렬 𝐴와 𝐵의 행의 개수와 열의 개수가 같을 때만 정의된다.
• 두 행렬 𝐴와 𝐵의 대응하는 행과 열 성분끼리 합한 행렬이다.
• 행의 개수와 열의 개수는 유지된다.

행렬 덧셈 성질

(표기) −𝐴 

𝐴 의 각 성분에 −1을 곱해서 얻은 행렬을 말한다.

 

𝑚 × 𝑛 행렬

𝐴, 𝐵, 𝐶와 영행렬 𝑂에 대해 아래가 성립한다.

• 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (덧셈에 대한 교환법칙)
• 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (덧셈에 대한 결합법칙)
• 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴 𝑂 는 덧셈에 대한 항등원)
• 𝐴 + −𝐴 = −𝐴 + 𝐴 = 𝐴 − 𝐴 = 𝑂 (−𝐴는 덧셈에 대한 𝐴의 역원)

 

행렬의 스칼라곱

• 어떤 수 𝑐와 행렬 𝐴의 곱
• 𝑐: 자연수, 정수, 실수, 복소수 등 스칼라 값
• 행렬의 각 성분을 𝑐 배 하여 구한다.

𝑚 × 𝑛 행렬

𝐴, 𝐵와 스칼라 𝑐, 𝑑 에 대해 아래가 성립한다.

• 1 ⋅ 𝐴 = 𝐴, −1 ⋅ 𝐴 = −𝐴 0 ⋅ 𝐴 = 𝑂, 𝑐 ⋅ 𝑂 = 𝑂 𝑐𝑑 ⋅ 𝐴 = 𝑐(𝑑 ⋅ 𝐴) (결합법칙)
• 𝑐 + 𝑑 ⋅ A = 𝑐𝐴 + 𝑑𝐴 (→→→→분배법칙)
• 𝑐 ⋅ (𝐴 + 𝐵) = 𝑐𝐴 + 𝑐𝐵 (분배법칙)

행렬의 곱셈

[ 𝑚 × 𝑛 행렬 ]

• 𝐴 와 𝑛 × 𝑘 행렬 𝐵의 곱
• 𝐴의 열의 개수와 𝐵의 행의 개수가 일치할 때 두 행렬의 곱 𝐶 = 𝐴𝐵가 정의
• 𝐶는 𝑚 × 𝑘 행렬
• 𝐶의 𝑖행 𝑗열 성분 𝑐𝑖𝑗은 𝐴의 𝑖행과 𝐵의 𝑗열의 성분별 곱을 더한 것을 말한다.
•  

 

𝑛 × 𝑛 행렬 𝐴 의 거듭제곱 

→ 정수 𝑐 에 대해  𝐴 𝑐 = 𝐴 × ⋯ × 𝐴 𝑐번 곱하기

 

 

항등 행렬

• 𝐼𝑛 • 𝑛 × 𝑛 행렬 (정사각 행렬)
• 대각성분이 1이고 그 외 성분은 모두 0인 특수한 행렬
• 𝐼2 = 1 0 0 1 , 𝐼3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
• 𝑚 × 𝑛 행렬 𝐴와 항등 행렬 𝐼𝑛 의 곱은 𝐴 자신 
• 𝐴𝐼𝑛 = 𝐴 
• 항등행렬 𝐼𝑛 과 𝑛 × 𝑘 행렬 𝐵의 곱은 𝐵 자신
• 𝐼𝑛𝐵 = 𝐵

 

행렬의 곱셈 성질

𝑚 × 𝑛 행렬 𝐴, 

행렬 𝐵와 𝐶는 합과 곱에서 정의된 크기의 행렬,

스칼라 𝑐에 대해 아래가 성립한다.

• 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) (곱셈의 결합법칙)
• 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 (분배법칙)
• 𝐵 + 𝐶 𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 (분배법칙)
• 𝑐 𝐴𝐵 = 𝑐𝐴 𝐵 = 𝐴(𝑐𝐵) (스칼라곱 교환법칙)
• 𝐴 = 𝐴𝐼𝑛, 𝐵 = 𝐼𝑛𝐵 (항등 행렬은 곱셈에 대한 항등원)

행렬은 일반적으로 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않는다

두 행렬이 모두 영행렬이 아님에도 곱은 영행렬이 될 수 있다 (0 인자 존재)

 

 

역행렬

정사각 행렬 𝐴 와 𝐵 에 대해 ,  𝐴𝐵 = 𝐼𝑛을 만족하면,
𝐵는 𝐴의 역행렬, 𝐴는 𝐵의 역행렬 
즉 역행렬은 곱셈에 대한 역원이다.
𝐵 = 𝐴 ^−1 이라고 표기
역원 관계인 경우 교환법칙이 성립한다.
즉, 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛 이면 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛 은 자동적으로 만족한다.

 

𝒁𝒏행렬의 덧셈

 

두 행렬 𝐴와 𝐵의 각 성분이 𝑍𝑛 의 원소

두 행렬 𝐴와 𝐵를 덧셈할 때 𝑚𝑜𝑑 𝑛 연산으로 덧셈을 하면된다.

 

𝒁𝒏행렬의 곱셈

 

두 행렬 𝐴와 𝐵의 각 성분이 𝑍𝑛 의 원소

두 행렬 𝐴와 𝐵를 곱셈할 때 𝑚𝑜𝑑 𝑛 연산으로 곱셈을 하면 된다.

 

𝒁𝒏행렬의 역행렬

 

𝑚𝑜𝑑 𝑛 연산으로 항등행렬이 되는 행렬 𝐵 = 𝐴 −1을 구하면 된다.

 

 

( 갑자기 스크린샷이 안돼서 식을 첨부하지 못했음, 추후에 추가하도록 하겠습니다. )